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02.01 - Variables Aleatorias

Modelos de Simualción​

Introducción​

  • Variables aleatorias
  • Funciones de distribución
  • Distribuciones discretas y continuas
  • Algunas distribuciones comunes
X:Ω→RX : \Omega \rightarrow \mathbb{R}

Variables Aleatorias Discretas​

Son variables que toman un número finito o infinito numerable de valores.

Ejemplo: Lanzamiento de una moneda, número de éxitos en una serie de intentos.

Función de masa de probabilidad (PMF):

P(X=xi)=piP(X = x_i) = p_i

Variables Aleatorias Continuas​

Son variables que toman un número infinito no numerable de valores.

Ejemplo: Tiempo de espera en una fila, altura de personas.

Función de densidad de probabilidad (PDF):

fX(x)=ddxFX(x)f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x)

Funciones de Distribución​

Función de Distribución Acumulativa (CDF)​

FX(x)=P(X≤x)F_X(x) = P(X \le x)

Propiedades:

  • 0≤FX(x)≤10 \le F_X(x) \le 1
  • FX(x)F_X(x) es no decreciente
  • FX(−∞)=0F_X(-\infty) = 0 y FX(∞)=1F_X(\infty) = 1

Distribuciones Discretas Comunes​

  • Distribución uniforme discreta
  • Distribución binomial
  • Distribución geométrica
  • Distribución de Poisson

Distribuciones Continuas Comunes​

  • Distribución uniforme continua
  • Distribución normal (Gaussiana)
  • Distribución exponencial
  • Distribución de t de Student

Funciones de Esperanza y Varianza​

Esperanza matemática (valor esperado):

E[X]=∑ixiP(X=xi)          (discreta)E[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i) \;\;\;\;\; \text{(discreta)}
E[X]=∫−∞∞xfX(x)dx          (continua)E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx \;\;\;\;\; \text{(continua)}

Varianza:

Var[X]=E[(X−E[X])2]=E[X2]−(E[X])2Var[X] = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2

Desviación estándar:

σX=Var[X]\sigma_X = \sqrt{Var[X]}